Интерактивна физическа демонстрация

Парадоксът на Аристотел

Две споени окръжности с общ център — една голяма и една малка — се търкалят заедно. За едно пълно завъртане центърът им напредва на разстояние, равно на обиколката на голямата окръжност — независимо какъв е радиусът на малката. Изглежда, че малкото колело „изминава“ същия път като голямото, макар обиколката му да е по-къса. Задайте двата радиуса и наблюдавайте движението, за да откриете разковничето.

Защо малкото колело „изминава“ същия път?

Парадоксът

Представете си макара — голям диск с по-малък диск, споен неподвижно към същата ос. Голямото колело се търкаля по земята без приплъзване, а малкото — теоретично — трябва да се търкаля по своя собствена, по-висока релса. След едно пълно завъртане центърът на макарата се е придвижил на разстояние, точно равно на обиколката на голямото колело: 2πR. Но малкото колело е споено към същия център, така че и то се е придвижило на същото разстояние 2πR — въпреки че собствената му обиколка е само 2πr, което е по-малко число. Изглежда сякаш малкото колело е „изминало“ път, по-дълъг от собствената си обиколка — противоречие, познато от античността и приписвано на Аристотел.

Разковничето: няма истинско търкаляне без приплъзване

И двете окръжности се въртят с една и съща ъглова скорост ω, защото са едно твърдо тяло. Центърът се движи с линейна скорост v = ω·R — тя се определя от голямото колело, което наистина се търкаля без приплъзване по земята. Ако малкото колело „наистина“ се търкаляше по своя релса без приплъзване, точката му на допир трябваше да е в покой, а това изисква скорост ω·r, различна от ω·R. Разликата

vприплъзване = ω(R − r)

е скоростта на приплъзване на малкото колело върху въображаемата му релса. Малкото колело не се търкаля чисто — то едновременно се върти и се плъзга. Именно това плъзгане „добавя“ разстоянието, което липсва от неговата по-малка обиколка. Парадоксът изчезва, щом осъзнаем, че условието „търкаляне без приплъзване“ не може да бъде изпълнено едновременно и за двете окръжности — то важи само за едната (в нашия случай голямата, защото тя е в реален контакт със земята).

Линейно разстояние срещу ротационно движение

Симулаторът чертае пътя на една точка от периферията на всяка окръжност — това е класическата циклоида. За точка от голямото колело (което наистина се търкаля) траекторията докосва земята във всеки цикъл и има формулата:

x(θ) = R(θ − sin θ)    y(θ) = R(1 − cos θ)

За точка от малкото колело центърът се движи по същия закон x = Rθ, но точката се намира на разстояние r от центъра, което дава т.нар. „скъсена“ (curtate) трохоида — крива, която никога не докосва собствената си релса:

x(θ) = Rθ − r·sin θ    y(θ) = R − r·cos θ

Точно фактът, че тази крива не докосва релсата в нито един момент, е геометричното доказателство за приплъзването: линейното разстояние, изминато от центъра (Rθ), винаги е по-голямо от ротационното преместване, което самò малкото колело „заслужава“ по своя размер (rθ). Разликата между тях расте линейно с ъгъла и е точно равна на натрупаното приплъзване.

Какво да наблюдавате в симулатора

  • Циклоидата на голямото колело (кехлибарена) образува остри връхчета там, където точката докосва земята — знак за чисто търкаляне.
  • Трохоидата на малкото колело (тюркоазена) е плавна вълна, която никога не слиза до своята релса — знак за плъзгане.
  • Пътят на центъра (R·θ) расте еднакво бързо независимо от r — оттук идва усещането, че „малкото колело изминава същия път“.
  • Задайте r много близо до R, за да видите как приплъзването изчезва и трохоидата се доближава до циклоида.